北师大实验中学2020初三阶段性测试几何压轴题解析：托勒密定理和阿波罗尼斯圆综合应用， 北达教研组收集整理，分享给大家。
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【题目】
【读题】
题目背景是含60°内角的特殊菱形，涉及到等腰直角三角形、顶角为120°的等腰三角形等特殊图形，题型包括两条线段的数量关系、三条线段的数量关系、先猜后证存在型问题等。本题暗含各种四点共圆、托勒密定理以及阿波罗尼斯圆等高大上的数学模型，难度较大，对考生的要求比较高。
【分析】
下面按照顺序进行简要解析。
（1）①当α=50°时，补全图形，并证明EG=BC.
【方法一】三角形全等
如图，根据“8字型”可得∠BGE=∠ECB，又∠EDC=∠EBC=100°，可得∠EBG=∠CEB=50°，可证△BGE≌△ECB（ASA），于是可得EG=BC.在这个模型下，也可以选择不同的一组三角形证明全等，思路相同、大同小异。
【方法二】角度和辅助圆
借助“8字型”分析可知∠EGB=∠ECB，根据对称性可知∠ECB=∠ECD，可得∠EGB=1/2∠BCD，可得点B、D、G在以点C为圆心CB为半径的圆上，于是有CG=CD=CB，得∠BGC=∠GBC=50°，于是∠BCG=80°，可得∠GCE=∠GEC=50°，EG=CG=BC.
②当α=45°时，直接写出线段ED，EC，EG之间的关系.
按要求补全图形如图所示，有45°，就要思考是否会有直角、等腰直角三角形等。同时，需要借助几何直观大致判断三条线段是一次型的关系还是二次型的关系。
下面给出五种不同的构造辅助线的方法。
【方法一】构造等腰Rt△ECF，证明△CBE≌△CGF.
【方法二】构造等腰Rt△ECM，证明△CEG≌△CBM.
【方法三】构造等腰Rt△GEN，证明△BGN∽△CGE.
【方法四】构造等腰Rt△BEH，证明△BHG∽△BFC.
【方法五】托勒密定理由∠GEB=∠GBC=45°，可得四边形BCGE为圆的内接四边形，可得△BCG为等腰直角三角形，由托勒密定理可得，
本小问是三条线段关系中的传统经典题目，感兴趣的读者可以对比《北京北达教育竞技俱乐部数学压轴题解题方法突破》第五版P46页例题分析，有多种方法和题型、模型总结，不再赘述。
上述分析过程需要注意顶角为120°的等腰三角形（如△CDK和△ACD）的三边关系。有时，将一些常见的结论作为一种几何直观加以理解和记忆对解题会很有帮助。
需要注意的是，在交代点K的具体位置时，可以采用不同的描述方法，如：①AC上且∠ADK=90°；②AC上且∠AKD=60°；③△BCD的中心/内心/外心等；④AC上且AC/CK=3.
【反思与总结】
1. 本题涉及到的概念图形有菱形、等边、等腰直、含30°直角、含120°等腰、“288”的等腰；涉及到线段关系有相等、根号2倍和根号3倍，信息量比较大。最后一问“二选一”选做题型的设置，类似海淀区2016年一模试题。
2. 辅助圆的灵活运用是解题的关键步骤，无论是不同的四点共圆还是阿波罗尼斯圆，以及托勒密定理涉及到的背景图形，都非常有挑战性。
3. 托勒密定理涉及到三条线段的数量关系是非常典型几何压轴题，也是2019年北京各城区的高频考题，建议考生证明时采用构造全等（或相似）的方法，尽量不要直接用结论，不过毫无疑问，定理可以为分析提供准确的方向。
4. “先猜后证”类型的几何题是北京北达教育竞技俱乐部新的命题形式。本题先分析轨迹、再借助特殊位置找点、最后证明一般情形，这样的分步骤探究的方法，值得借鉴。
5. 阿波罗尼斯圆的知识是竞赛要求，在北京近十年所有城区的中考模拟试题中，只出现过两次，北京北达教育竞技俱乐部真题中还不曾出现，因此，考生如果做不出来那真是再正常不过了，不要影响自己的情绪和信心。
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